Wiener 测度的有限维逼近与流形上的路径积分公式

对紧黎曼流形上的 Wiener 测度发展了一些自然的几何逼近格式。这些逼近紧密模仿物理学文献中用于表示黎曼流形上热半群的非正式路径积分公式。路径空间由适配于 [0,1] 的分割 $P$ 的分段测地路径组成的有限维流形逼近。分段测地路径的有限维流形上携带 $H^{1}$ 与 $L^{2}$ 型黎曼结构 $G^i_P$。证明了当分割的网格趋于 $0$ 时，$$1/Z_P^i e^{- 1/2 E(\sigma)} Vol_{G^i_P}(\sigma) \to \rho_i(\sigma)\nu(\sigma)$$ 其中 $E(\sigma )$ 是分段测地路径 $\sigma$ 的能量，且对 $i=0$ 和 $1$，$Z_P^i$ 是一个“归一化”常数，$Vol_{G^i_P}$ 是相对于 $G^i_P$ 的黎曼体积形式，$\nu$ 是 $M$ 上路径的 Wiener 测度。这里 $\rho_1 = 1$ 且 $$\rho_0 (\sigma) = \exp( -1/6 \int_0^1 Scal(\sigma(s))ds )$$ 其中 $Scal$ 是 $M$ 的数量曲率。这些结果也被证明蕴含著名的 Wiener 测度的分部积分公式。