M₂(ℤ) 上的 Fermat 方程与 Catalan 方程
数论
2025-03-06 v1
摘要
设 A = (a b; c d) ∈ M₂(ℤ) 为给定矩阵，满足 bc ≠ 0，令 C(A) = {B ∈ M₂(ℤ) : AB = BA}。本文给出了矩阵方程 uXⁱ + vYʲ = wZᵏ（i, j, k ∈ ℕ, X, Y, Z ∈ C(A)）可解性的充分必要条件，其中 u, v, w 为满足 gcd(u, v, w) = 1 的给定非零整数。由此得到了 C(A) 中 Fermat 矩阵方程可解性的充分必要条件。此外，本文证明了 M₂(ℤ) 中 Catalan 矩阵方程的可解性可归约为 C(A) 中 Catalan 矩阵方程的可解性，最终归约为二次域中 Catalan 方程的可解性。
引用
@article{arxiv.2503.03621,
title = {Fermat's and Catalan's equations over $M_2(\mathbb{Z})$},
author = {Hongjian Li and Pingzhi Yuan},
journal= {arXiv preprint arXiv:2503.03621},
year = {2025}
}