主狄利克雷特征的费凯特多项式

与二次狄利克雷特征相关的费凯特多项式具有有趣的算术性质，并已在许多工作中被研究。在本文中，我们研究了一个看似更简单却丰富的变体：与主狄利克雷特征 $\chi_n$（模为 $n$）相关的费凯特多项式 $F_n(x) = \sum_{a=1}^n \chi_n(a) x^a$。我们考察 $F_n$ 的分圆因子，并猜想性地描述了所有这些因子。我们从计算中观察到的一个有趣现象是，$F_n(x)/x$ 的非分圆部分 $f_n$ 似乎总是不可约的。我们在 $n$ 为两个奇素数乘积的特殊情形下仔细研究该因子，在特定情况下证明可分离性，并研究其系数与特殊值。将这些理论结果与计算证据相结合，使我们能识别小 $n$ 时 $f_n$ 的伽罗瓦群，并一般地提出精确的问题。