关于广义Fekete多项式的算术性质

对每个素数 $p$，可关联一个Fekete多项式，其系数除常数项为0外均为 $-1$ 或 $1$。这些是经典多项式，已在解析数论框架中被广泛研究。在最近的一篇论文中，我们表明这些多项式也编码了有趣的算术信息。本文中，我们定义与二次特征相关联的广义Fekete多项式，其导子可以是合数。随后我们研究这些广义Fekete多项式的分圆因子出现情况。基于该探究，我们引入了Fekete多项式的紧致版本及其迹多项式。然后我们利用模技术研究所这些Fekete多项式的伽罗瓦群。特别地，我们发现了一些令人惊讶的额外对称性，它们对相应的伽罗瓦群施加了某些限制。最后，基于理论与数值数据，我们提出了关于这些伽罗瓦群结构的精确猜想。