广义概率论与多面体的锥扩展

广义概率论（GPT）提供了一个包含经典理论和量子理论的通用框架。它由锥 $C$ 及其对偶锥 $C^*$ 描述。我们证明，某些单向通信复杂性问题能否在 GPT 内求解，等价于最近引入的相应通信矩阵 $M$ 的锥分解。我们还证明了 Holevo 定理的类比：当锥 $C$ 包含于 $\mathbb{R}^{n}$ 时，通过发送 GPT 态并对其进行测量所实现的信道的经典容量以 $\log n$ 为界。多面体及多面体上的函数优化出现于离散数学的诸多领域。多面体的锥扩展是锥 $C$ 与仿射子空间的交集，该交集向原始空间的投影给出所需的多面体。多面体的扩展有时可以是比多面体本身简单得多的几何对象。多面体锥扩展的存在性等价于在同一锥上该多面体松弛矩阵的锥分解的存在性。我们证明，所有顶点可由多项式大小电路识别的 $0/1$ 多面体（包括旅行商多面体及组合优化中的许多其他多面体作为特例），当锥为完全正锥时具有较小的锥扩展复杂度。利用最近关于多面体线性扩展复杂度的指数下界，这揭示了基于完全正锥的 GPT 通信复杂度与经典通信复杂度之间的指数差距，以及与量子通信复杂度的猜想指数差距。因此，我们的工作将量子理论推广的通信复杂度与组合优化领域主流关注的问题联系了起来。