超声传播中声压的反馈控制

超声传播的经典模型有 Westervelt 方程、Kuznetsov 方程以及 Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov 方程。Jordan-Moore-Gibson-Thompson 方程是一个著名的偏微分方程 (PDE) 模型范例，它描述超声传播中的声速度势，其中热信号无限传播速度的悖论被消除；以 Cattaneo 本构定律替代 Fourier 定律描述热流，使其关于时间呈三阶。为了理解完全拟线性 PDE，近期大量关注集中于其线性化形式——文献中称为 Moore-Gibson-Thompson 方程——其数学分析本身亦具独立意义，已提出若干问题与挑战。在本文中，我们考虑并求解与该线性方程相关的二次型控制问题，其表述与在超声激励期间使声压保持接近参考压力的目标一致，正如医疗与工业应用中所要求的。尽管近期文献已考虑带光滑控制的最优控制问题，我们旨在依赖仅为时间上 $L^2$ 的控制；这导致一个奇异控制问题与非标准的 Riccati 方程。尽管描述自由动力学的半群非解析，且受边界控制的动力学呈现出困难形态，这一不利组合依然存在，我们仍建立了最优控制的反馈综合以及算子 Riccati 方程的适定性。