二维热方程和修正亥姆霍兹方程的快速积分方程方法

我们提出了一种高效的积分方程方法，用于在二维多连通区域中求解具有狄利克雷边界条件的热方程$u_t (\x) - \Delta u(\x) = F(\x,t)$。我们不使用基于热核的积分方程，而是采用先对时间进行离散化的方法。这导致在每个时间步需要求解一个非齐次修正亥姆霍兹方程。该方程的解被表述为一个体积势加上一个双层势。体积势使用快速多极加速求解器进行评估。然后通过求解齐次修正亥姆霍兹方程的积分方程来满足边界条件。积分方程求解器也由快速多极方法（FMM）加速。对于边界和域离散化中的总共$N$个点，每个时间步的总计算成本为$O(N)$或$O(N\log N)$。