方格上自避多边形的快速构造与闭游走分数的高效计算
组合数学
2026-04-28 v1
摘要
我们基于近期的一项理论突破，采用新算法精确计算了无限方格上所有闭游走的分数 ，这些闭游走的最后擦除环路对应于长度不超过 38 的 个自避多边形 中的任意一个。在此工作之前，文献中仅计算了 6 个 的值。主要的计算引擎使用了高效算法来构造自避多边形并精确计算格点格林函数。基于我们的结果，我们提出了两个猜想：一个是关于 之和的渐近行为，另一个是关于当 为大正方形时 的值。我们为第二个猜想提供了强有力的理论论证。此外，我们引入的算法不局限于方格，原则上可扩展至任何顶点传递无限格点。在建立此扩展的过程中，我们解决了与三角格点格林函数相关的两个开放问题。
引用
@article{arxiv.2412.12655,
title = {Fast construction of self-avoiding polygons and efficient evaluation of closed walk fractions on the square lattice},
author = {Jean Fromentin and Pierre-Louis Giscard and Yohan Hosten},
journal= {arXiv preprint arXiv:2412.12655},
year = {2026}
}