小分数阶阶数下Caputo导数的快速算法与误差分析

本文研究了当分数阶阶数 $\alpha$ 较小时，用于逼近Caputo导数 $^C_0D_t^\alpha u(t)$ 的快速算法。我们关注两种快速算法，即FIR和FIDR，二者均依赖指数和逼近来降低历史部分的计算代价。FIR是文献[16]最初提出的数值格式，FIDR是文献[26]提出的另一种格式，我们证明当 $\alpha$ 较小时后者更优。通过定量估计，我们证明在给定误差阈值下，随着 $\alpha$ 变小，评估Caputo导数历史部分的计算代价可降低。因此，在小 $\alpha$ 情形下仅需极小的快速评估代价，这与工程实践中的通行方案相符。我们还给出了FIDR求解线性分数阶扩散方程的改进稳定性与误差分析，明确了误差界对分数阶阶数 $\alpha$ 的清晰依赖关系。最后，我们对FIR和FIDR两种格式的性能进行了系统的数值研究，探讨了当 $\alpha$ 较小时精度与效率之间的权衡。