Caputo 分数阶导数的快速算法及其在常微分方程与偏微分方程中的应用

本文发展了求解由关于时间变量的 Caputo 分数阶导数常微分方程与偏微分方程离散化所产生线性系统的快速算法。首先，我们考虑一种有限差分格式求解双边分数阶常方程。进而，我们提出一种快速求解技术，以加速有限差分离散化产生的 Toeplitz 矩阵-向量乘法。该快速求解技术基于快速傅里叶变换并依赖于系数矩阵的特殊结构，在不使用任何有损压缩的情况下，将计算量从传统方法所需的 $O(N^{3})$ 降至 $O(Nlog^{2}N)$，内存需求从 $O(N^{2})$ 降至 $O(N)$，其中 $N$ 为未知量个数。考虑了两种求解具有不同分数阶 $\gamma$ 的时间分数阶双曲方程的有限差分格式。我们依据系数矩阵特殊结构并通过重排未知量顺序给出快速求解技术，在不使用任何有损压缩的情况下，将计算量从传统方法所需的 $O(N^2M)$ 降至 $O(N$log$^{2}N)$，内存需求从 $O(NM)$ 降至 $O(N)$，其中 $N=\tau^{-1}$、$\tau$ 为时间步长，$M=h^{-1}$、$h$ 为空间步长。重要的是，采用一种快速方法以较低代价 $O(MN$log$^2N)$ 求解经典时间分数阶扩散方程，而直接方法所需总体计算复杂度为 $O(N^2M)$。此外，通过数值实验验证了格式的适用性与精度，以支持我们的理论分析。