族 Bauer–Furuta 不变量、奇异曲面与 Smale 猜想

我们证明在带穿孔的 $K3$ 曲面中存在一对奇异曲面，其在一次外部稳定后仍为奇异曲面且具有微分同胚的补空间。证明中的一个关键要素是：对一大类自旋 4-流形上的微分同胚，其族 Bauer–Furuta 不变量的一个消失定理，该定理利用等变稳定同伦论中的 tom Dieck 分裂定理证得。特别地，我们证明 $S^{1}$-等变族 Bauer–Furuta 不变量在 $S^{4}$ 上任意保向微分同胚下均为平凡，且当微分同胚在同调上作用平凡时，$\mathrm{Pin}(2)$-等变族 Bauer–Furuta 不变量在 $S^{2}\times S^{2}$ 上的微分同胚下为平凡。因此，这些不变量无法探测 $S^{4}$ 或 $S^{2}\times S^{2}$ 上的奇异自微分同胚。此外，我们的定理也适用于 $S^{4}$ 上某些奇异微分同胚环路（如 Watanabe 最近所发现），并表明这些环路具有平凡的族 Bauer–Furuta 不变量。在此过程中，我们在球面的 $\mathrm{Pin}(2)$-等变稳定同伦群中观察到一个奇特元素，有可能用于探测 $S^{4}$ 上的奇异微分同胚。