有根有向图的贪心多面体多项式的因式分解

Gordon 与 McMahon 为任意贪心多面体 $G$ 定义了一个双变量贪心多面体多项式 $f(G;t,z)$。他们研究了与有根图和有根有向图相关的贪心多面体多项式。他们证明了有根有向图的贪心多面体多项式具有乘法直和性。此外，在某些条件下这些多项式可被 $1 + z$ 整除。我们计算了所有阶数不超过六的有根有向图的贪心多面体多项式。若一个有根有向图 $D$ 的贪心多面体多项式 $f(D)$ 满足 $f(D) = f(G) \cdot f(H)$，其中 $G$ 与 $H$ 为阶数至多为 $n$ 的有根有向图且 $f(G),f(H) \ne 1$，则称其 GM-因式分解。我们研究了有根有向图贪心多面体多项式的 GM-可因式分解性，特别是那些不能被 $1 + z$ 整除的情形。我们给出了一些例子以及一个非直和但其贪心多面体多项式 GM-因式分解的有根有向图的无限族。