基尔霍夫多项式的素因子分解：有向生成树的紧凑枚举

我们研究枚举具有 $n$ 个顶点的有向图(digraph) $G=(V,E)$ 的所有根向有向生成树(arborescences)的问题。由边 $e_1,\ldots,e_{n-1}$ 组成的有向生成树 $A$ 可表示为变量 $e \in E$ 中的单项式 $e_1\cdot e_2 \cdots e_{n-1}$。有向图的所有有向生成树 $\mathsf{arb}(G)$ 由此定义基尔霍夫多项式 $\sum_{A \in \mathsf{arb}(G)} \prod_{e\in A} e$。我们展示了如何计算基尔霍夫多项式的紧凑表示——其素因子分解，以及它如何与有向图的强连通性和顶点支配等组合性质相关联。特别地，我们提供了对应于该多项式因式分解步骤的有向图分解规则，并给出了所得因子的充要条件（用相应分解组件的连通性性质表达的素性条件）。由此，我们获得了一种线性时间算法，用于将有向图分解为对应于初始多项式各因子的组件，并保证不可能有更精细的因子分解。该分解可作为递归删除-收缩算法的起点，也可作为迭代枚举算法的预处理阶段。两种方法均产生压缩输出，并在结果多项式中保留某些结构性质。这在诸如计算由拉普拉斯动力学支配的有向图上的稳态，或计算基尔霍夫多项式的最大公约数等实际应用中被证明是有利的。最后，我们开启了一类允许对有向生成树进行实际枚举的有向图的研究。利用我们的分解规则，我们观察到来自实际应用的各种有向图属于该类或与之结构相似。