表面上 girth-饱和图中的面

对于在给定曲面 $\Sigma$ 上嵌入的、具有 girth 至少 $\ell$ 的包含最大图的面环长 $f_{\max}(\ell, \Sigma)$ 想知道最大值是多少？如果 $\Sigma=\mathcal{P}$ 为平面，我们证明 $3\ell-11\leq f_{\max}(\ell, \mathcal{P})\leq 8\ell-13$。我们还证明 $f_{\max}(\ell, \Sigma)$ 对任何整数 $\ell$ 和任何闭合曲面 $\Sigma$ 都是有界的。对于固定的 $\Sigma$，我们显示 $\Omega(\ell) = f_{\max}(\ell, \Sigma) = O(\ell^2)$，而对于固定的 $\ell\geq 6$，$f_{\max}(\ell, \Sigma)=\Theta(g)$，其中 $g$ 为 $\Sigma$ 的基数。