射影平面四边形剖分的宽度

我们证明，每个具有 $n$ 个顶点且不含两个顶点不相交奇圈的 $4$-色图，都有一个长度至多为 $\tfrac12\,(1+\sqrt{8n-7})$ 的奇圈。设 $G$ 是射影平面上具有 $n$ 个顶点的非二部四边形剖分。我们的结果立即推出 $G$ 的边宽度至多为 $\tfrac12\,(1+\sqrt{8n-7})$，这对于无穷多个 $n$ 值是最优的。我们还证明 $G$ 的面宽度（等价地，包含一个基数为）至多 $\tfrac14(1+\sqrt{16 n-15})$ 的奇圈横截，这与最优值相差一个常数；我们证明了下界 $\sqrt{n}$。最后，我们证明 $G$ 有一个大小至多为 $\sqrt{2\Delta n}$ 的奇圈横截，它诱导出一条单边，其中 $\Delta$ 是最大度。这最后一个结果部分回答了 Nakamoto 和 Ozeki 的一个问题。