F-纯阈值与拟齐次多项式的高

我们考虑一个次数 $w$ 等于 $x_0 \cdots x_N$ 次数的拟齐次多项式 $f \in \mathbb{Z}[x_0, \ldots, x_N]$，并证明约化 $f_p \in \mathbb{F}_p[x_0, \ldots, x_N]$ 的 $F$-纯阈值等于对数典范阈值，当且仅当与 $H^{N-1}\left( X, {\mathbb{G}}_{m,X} \right)$ 相关联的 Artin-Mazur 形式群的高等于 1，其中 $X$ 是由 $f$ 给出的超曲面。我们还证明了对于次数 $>N+1$ 的 Fermat 超曲面，类似的结果同样成立。此外，我们给出了加权 Delsarte 曲面的示例，表明次数为 $w$ 的拟齐次多项式的 $F$-纯阈值的其他取值无法由该高来刻画。