直积上的匹配与彩虹匹配的极值问题

设 $n_1,\dots,n_\ell,k_1,\dots,k_\ell$ 为整数，设 $V_1,\dots,V_\ell$ 为两两不交的集合且对 $i=1,\dots,\ell$ 有 $|V_i|=n_i$。定义 $\sqcup_{i=1}^\ell \binom{V_i}{k_i}$ 为 $\cup_{i=1}^\ell V_i$ 中所有满足对每个 $i=1,\dots,\ell$ 有 $|F\cap V_i| =k_i$ 的子集 $F$ 的全体。本文中，我们证明：若 $\mathcal{F}\subseteq \sqcup_{i=1}^\ell \binom{V_i}{k_i}$ 的匹配数至多为 $s$ 且对所有 $i$ 有 $n_i\geq 4\ell^2 k_i^2s$，则 $|\mathcal{F}| \leq \max_{1\leq i\leq \ell}[\binom{n_i}{k_i}-\binom{n_i-s}{k_i}]\prod_{j\neq i}\binom{n_j}{k_j}$。设 $\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2,\dots,\mathcal{F}_s\subseteq\sqcup_{i=1}^\ell \binom{V_i}{k_i}$ 且对所有 $i$ 有 $n_i\geq 8\ell^2k_i^2s$。我们还证明：若 $\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2,\dots,\mathcal{F}_s$ 无彩虹匹配，则存在 $t\in [s]$ 使得 $|\mathcal{F}_t|\leq \max_{1\leq i\leq \ell}\left[\binom{n_i}{k_i}-\binom{n_i-s+1}{k_i}\right]\prod_{j\neq i}\binom{n_j}{k_j}$。