基于邻域多样性或带宽参数化的精确匹配与 Top-k 完美匹配

Exact Matching（EM）问题询问是否存在使用预定红色边数目的完美匹配。虽然存在随机多项式时间算法，但仅有少数特殊情况具有确定性算法，使其成为测试 P=RP 假设的自然候选。等价的 Top-k Perfect Matching（TkPM）问题要求完美匹配最大化最重 $k$ 条边的权重。我们主要研究后者，在输入为扩张图（即将顶点替换为完全图或独立集的图）的情况下进行。我们描述了一个基于 $k$ 和输入图的邻域多样性的参数化算法，后者本质上是扩张前图的大小；该图也称为原型。我们将该算法扩展为一种在此类参数上具有更柔和依赖的时间复杂度的近似方案。此外，对于带宽受限但大小无限制的原型，我们开发了一个在子指数时间内运行的递归算法。利用针对邻域多样性图上的 EM 的另一个算法，我们将此递归子指数算法适用于 EM。我们的做法类似于在受限树宽实例上对各种问题进行动态规划。主要思想是利用许多不相交分隔符，以避免在分割阶段将集合中任意“坏”顶点包含在分隔符中。