棒棒糖图边扩张的极值图

给定图 $H$ 与整数 $p$ ($p\geq 2$),$H$ 的边扩张 $H^{p+1}$ 是将 $H$ 中每条边替换为一个阶为 $(p+1)$ 的团所得的图,其中各团的新顶点互不相同。匹配边扩张的 Turán 数最早由 Erdős 和 Moon 研究。近来 Yuan 对较大 $p$ 下 $H^{p+1}$ 的极值图取得了实质性进展。Yuan (2022) 确定了当 $p\geq 3$ 时所有二部图边扩张的 Turán 数范围,以及当 $p\geq \chi(H)+1$ 时所有非二部图边扩张的精确 Turán 数,其中 $\chi(H)$ 为 $H$ 的色数。棒棒糖图 $C_{k,\;\ell}$ 是在圈 $C_k$ 的一个顶点上接一条路径 $P_{\ell+1}$ 所得的图。本文考虑剩余情形 $p=2$ 与 $p=3$ 下 $C_{k,\;\ell}^{p+1}$ 的极值图。