具有少量状态的极值二元 PFA

DFA 已知的最大重置阈值为 $(n-1)^2$，其中 $n$ 为状态数。这被猜想为可能的最大值。PFA（具有部分转移函数）可具有指数级大的重置阈值。即便限制为二元 PFA 此结论仍成立。然而，渐近性态无法给出对固定 $n$ 的结论。我们证明二元 PFA 的最大重置阈值严格大于 $(n-1)^2$ 当且仅当 $n\geq 6$。这些结果主要基于对某二元 PFA 族同步字长度的分析。该族具有以下性质：包含著名的 \v{C}ern\'y 自动机；对 $n\leq 10$ 包含具有最大可能重置阈值的二元 PFA；对所有 $n\geq 6$ 包含重置阈值大于 DFA 已知最大值的 PFA。对该族的分析揭示了涉及 Fibonacci 数及 Padovan 序列等相关序列的显著规律。我们推导了用这些递推序列表示的重置阈值的显式公式。渐近地，\v{C}ern\'y 族给出多项式阶的重置阈值。我们证明该族中的 PFA 在 $n\geq 41$ 时并非极值的。为此，我们给出了 Martyugin 的二元 PFA 素数构造的改进。