面向#NFA的实用FPRAS：依赖性的力量

#NFA指计算由非确定性有限自动机接受的长度为$n$的单词数的问题。#NFA为#P-hard问题，尽管存在完全多项式时间随机近似方案（FPRAS），但它们都不实用。首个FPRAS的运行时间为$\tilde{O}(n^{17}m^{17}\varepsilon^{-14}\log(\delta^{-1}))$，其中$m$为自动机的状态数，$\delta\in(0,1]$为置信参数，$\varepsilon>0$为容忍参数（通常小于1）。当前最佳FPRAS相对于首个FPRAS实现了显著的时间复杂度改进，获得的FPRAS时间复杂度为$\tilde{O}((n^{10}m^2 + n^6m^3)\varepsilon^{-4}\log^2(\delta^{-1}))$。当前改进的FPRAS的复杂度仍令人畏惧，难以进行实际实现。本文通过提出一种新算法实现实用FPRAS，时间复杂度为$O(n^2m^3\log(nm)\varepsilon^{-2}\log(\delta^{-1}))$。注意到判断长度为$n$的单词是否被NFA接受的时间复杂度为$O(nm^2)$。因此，我们提出的FPRAS实现相对于成员检查的亚二次复杂度。