含变形导数的变分方法的推广与应用

我们最近提出了标准变分法的一种推广，以在粒子系统的拉格朗日量和场论模型的拉格朗日密度中包含变形导数。在此方法中重新审视了经典欧拉-拉格朗日方程和哈密顿形式。当应用于若干物理系统时，所得动力学方程被证明是文献中发现的正确方程，特别是对于经典和量子力学系统的质量依赖方程和非线性方程。在本贡献中，我们利用变形导数的区间形式推广变分方法，以研究高阶耗散系统，并应用于具体情形，例如加速点电荷——这是 Abraham-Lorentz-Dirac 力问题——以及随机动力学，如 Langevin 方程、对流-扩散-反应方程和 Fokker-Planck 方程、Korteweg-de Vries 方程、Landau-Lifshits-Gilbert 方程和 Caldirola-Kanai 哈密顿量。通过考虑这些不同的应用，我们表明本文研究的表述可能是通过变分方法处理耗散、非线性和随机系统的一条简单且有前景的途径。