扩展 Nikiforov-Uvarov 方法、多项式解的根与泛函 Bethe ansatz 方法

出于对量子力学中准精确可解 Schr\"odinger 方程的应用，我们建立了至多具有 $k+1$ 个奇点的二阶微分方程的系数必须满足的一般条件，以使该方程具有 $n$ 次多项式的特解。在第一种方法中，我们扩展了旨在处理超几何型方程（即 $k=2$）的 Nikiforov-Uvarov 方法，并表明这些条件涉及 $k-2$ 个积分常数。在第二种方法中，我们考虑最一般形式的泛函 Bethe ansatz 方法。比较两种方法，我们证明了在多项式解的根为实且互异的假设下，扩展 Nikiforov-Uvarov 方法的 $k-2$ 个积分常数可以表示为这些根中单项对称多项式的线性组合，对应于划分为不超过两部分的分拆。