将一般形式表示为行列式之和

设$A= (a_{ij})$为一个非负整数$k \times k$矩阵。若对于任意选择的四个索引，满足$a_{ij} + a_{kl}=a_{il} + a_{kj}$，则称$A$为齐次矩阵。我们提出如下问题：若$A$为齐次矩阵，且$F$为$\mathbb{C}[x_1, \dots x_n]$中满足$\deg(F) = \text{trace}(A)$的形式，那么使得$F = \det M_1 + \dots + \det M_{s(A)}$成立的最小整数$s(A)$是多少？其中$M_i$是具有度矩阵$A$的$k \times k$形式矩阵。我们考虑$n>3$的情形，证明$s(A)$至多为$k^{n-3}$，且在无穷多种情况下$s(A) <k^{n-3}$。然而，当$A$的元素相对于$k$较大时，$s(A) = k^{n-3}$。