指数多项式与从傅里叶样本确定多边形区域

考虑集合 $E(D, N)$ 中所有 bivariate 指数多项式 $$f(\xi, \eta) = \sum_{j=1}^n p_j(\xi, \eta) e^{2\pi i (x_j\xi+y_j\eta)},$$ 其中多项式 $p_j \in \mathbb{C}[\xi, \eta]$ 的次数小于 $D$，$n\le N$，且 $x_j, y_j \in \mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$。我们找到一个集合 $A \subseteq \mathbb{Z}^2$，其大小为 $O(D^2 N \log N)$，仅依赖于 $N$ 和 $D$，使得函数 $f$ 在 $A$ 上的取值唯一确定 $f$。注意到 $A$ 的大小仅比描述 $f$ 所需参数数目多一个对数量。我们利用此结果，证明关于给定多边形区域的唯一性结果：若其边缘斜率数目 $\le k$，则该区域可由仅依赖于 $k$、最大顶点数 $N$ 的预定傅里叶样本集合唯一确定，集合大小为 $O(k^2 N \log N)$。若所有边缘均平行于坐标轴，则可仅依赖于 $N$ 的 $O(N \log N)$ 个傅里叶样本确定。我们的 methods 为非构造性的。