指数为 1 的阻塞器与欧几里得砖块的 Mordell-Weil 构造

实体砖块是具有整数边长和整数面对角线的矩形棱柱；若其空间对角线也为整数，则为完美砖块，其存在一直是长期悬而未决的难题。我们对由两组互素毕达哥拉斯对 $(a,b)$ 和 $(m,n)$ 以欧几里得形式参数化的实体砖块进行研究。首要贡献是对指数为 1 的阻塞现象的验证：对于每一个 Master-Hit，空间对角线范数 $f_1 := (W_1 U_2)^2 + (U_1 V_2)^2$ 都存在一个指数恰为 1 的素数除数 $\ell$，且与固定的 29 个规范表达式在参数上互素。这严格强于任何奇指数素数的存在：指数为 $3, 5, \ldots$ 的素数会阻止 $f_1$ 成为完全方，但携带额外的平方因子；观察到的阻止始终是原始的。该现象在所有 151,575 个经完全因式分解的 Master-Hit 上均得到验证。两个自然的加强版本失败：最大的外部参数素数不必是阻塞器，最小的外部参数阻塞器不必具有指数 1。第二个贡献利用 Master-Hit 变种在 $(m,n)$-平面上的椭丝映射。对于互素 $(m,n)$，Master-Hit 方程定义一个 genus-one 四次曲线 $H_{m,n}$；四次到 Weierstrass 正规化给出椭丝模型 $E_{m,n}$，其上的有理函数 $\tau$ 返回 $t^2$。我们的生成器枚举 $E_{m,n}(\mathbb{Q})$ 上的受限 Mordell-Weil 组合，将满足 $\tau(P) \in \mathbb{Q}_{>0}^{\square}$ 的点提升到可接受的 Euclid 对 $(a,b)$，并通过精确整数算术认证每个。我们从 61,829 个经典 Master-Hit 中生成 1,222,841 个 further ones "uber $411$ fibres。生成的 1,284,670 个 Master-Hit 中没有一个是完美砖块；所有完全因式分解的纪录都满足指数为 1 的阻塞现象。