显式非延展提取器、多源提取器与近乎最优的隐私放大协议

我们在以下三个问题上取得进展：1. 构造最优的有种子非延展提取器；2. 针对任意安全参数，构造存在主动敌手时的最优隐私放大协议；3. 在最小熵极小（即接近对数级）时，为独立弱随机源构造提取器。对于前两个问题，Chattopadhyay、Goyal 和 Li [CGL16] 以及 Cohen [Coh16a,Coh16b] 提出的最知名非延展提取器均要求种子长度和最小熵至少为 $\log^2 (1/\epsilon)$，其中 $\epsilon$ 为提取器的错误概率。因此，[Li15c,CGL16] 中实现的具有 2 轮通信和最优熵损失的已知显式隐私放大协议（存在主动敌手）只能处理安全参数至 $s=\Omega(\sqrt{k})$，其中 $k$ 为共享秘密弱随机源的最小熵。对于更大的 $s$，[Li15c] 中具有最优熵损失的已知最佳协议需要 $O(s/\sqrt{k})$ 轮通信。本文给出一种显式非延展提取器，仅要求种子长度和最小熵为 $\log^{1+o(1)} (n/\epsilon)$，由此也得到一种 2 轮隐私放大协议，在最优熵损失下可处理安全参数至 $s=k^{1-\alpha}$（任意常数 $\alpha>0$）。对于第三个问题，此前 Li [Li13a] 提出的支持最小熵最小的已知最佳提取器要求最小熵 $\log^{2+\delta} n$ 并使用 $O(1/\delta)$ 个源（任意常数 $\delta>0$）。Cohen 和 Schulman [CS16] 的最新结果改进了这一点，构造了使用 $O(1/\delta)$ 个源、针对最小熵 $\log^{1+\delta} n$（任意常数 $\delta>0$）的显式提取器。本文进一步改进其结果，给出使用 $O(1)$（绝对常数）个源、针对最小熵 $\log^{1+o(1)} n$ 的显式提取器。