改进的非可篡改提取器、非可篡改码与独立源提取器

本文给出了随机提取与抗篡改密码学文献中若干核心对象的改进构造。我们的主要结果如下：(1) 一个显式的种子化非可篡改提取器，其误差为 $\epsilon$，种子长度为 $d=O(\log n)+O(\log(1/\epsilon)\log \log (1/\epsilon))$，支持最小熵 $k=\Omega(d)$ 并输出 $\Omega(k)$ 位。结合 \cite{DW09} 中的协议，这在存在主动攻击者的情况下，对所有安全参数直至 $\Omega(k/\log k)$ 给出了具有最优熵损失的两轮隐私放大协议。(2) 一个显式的非可篡改双源提取器，适用于最小熵 $k \geq (1-\gamma)n$（$\gamma>0$ 为某常数），以误差 $2^{-\Omega(n/\log n)}$ 输出 $\Omega(k)$ 位。结合 \cite{CG14b} 中的联系，这给出了两分裂态模型中具有相对速率 $\Omega(1/\log n)$ 的非可篡改码。这指数级地改进了先前的构造，先前的所有构造仅能达到速率 $n^{-\Omega(1)}$。Aggarwal 等人 \cite{ADKO15} 的工作曾有一个达到常数速率的构造，但最近作者发现其证明中存在错误。(3) 一个适用于最小熵 $O(\log n \log \log n)$ 的双源提取器，这也蕴含了一个在 $N$ 个顶点上的 $K$-拉姆齐图，其中 $K=(\log N)^{O(\log \log \log N)}$。我们还获得了具有最优种子长度的种子化非可篡改 $9$-源提取器，进而给出了一个适用于最小熵 $O(\log n)$ 的 $10$-源提取器。此前，对于此类最小熵已知的最佳提取器需要 $O(\log \log n)$ 个源 \cite{CohL16}。独立于我们的工作，Cohen \cite{Cohen16} 获得了与 (1) 和双源提取器类似的结果，只是对 $\epsilon$ 的依赖为 $\log(1/\epsilon)(\log \log (1/\epsilon))^{O(1)}$，且双源提取器需要最小熵 $\log n (\log \log n)^{O(1)}$。