针对多对数最小熵的三源提取器

我们继续研究为独立的一般弱随机源构造显式提取器。最终目标是给出与概率方法所给出的相匹配的构造——针对两个独立的 $n$ 位弱随机源、最小熵小至 $\log n+O(1)$ 的提取器。此前，双源情况下已知最佳结果是 Bourgain \cite{Bourgain05} 的提取器，其适用于最小熵 $0.49n$；而一般情况已知最佳结果是作者早期工作 \cite{Li13b}，其给出了针对常数个独立源、最小熵为 $\mathsf{polylog(n)}$ 的提取器。然而，\cite{Li13b} 构造中的常数依赖于已知最佳种子提取器中隐藏的常数，可能很大；且该构造的误差仅为 $1/\mathsf{poly(n)}$。本文中，我们对 \cite{Li13b} 的结果做了两个重要改进。首先，我们构造了一个针对 $n$ 位上 \emph{三} 个独立源、最小熵 $k \geq \mathsf{polylog(n)}$ 的显式提取器。实际上，我们的提取器适用于一个具有多对数最小熵的独立源，以及另一个具有两个块、每个块具有多对数最小熵的独立块源。因此，我们的结果近乎最优，下一步将是打破双源提取器中 $0.49n$ 的壁垒。其次，我们将提取器的误差从 $1/\mathsf{poly(n)}$ 改进到 $2^{-k^{\Omega(1)}}$，这几乎是最优的，且对密码学应用至关重要。这里发展的某些技术可能具有独立的意义。