2 x 2 行列式环的显式 Hilbert-Kunz 函数

设 $k[X] = k[x_{i,j}: i = 1,..., m; j = 1,..., n]$ 为任意特征域 $k$ 上含 $m n$ 个变量 $x_{i,j}$ 的多项式环。记 $I_2(X)$ 为由通用 $m \times n$ 矩阵 $[x_{i,j}]$ 的 $2 \times 2$ 子式生成的理想。我们给出了 $k$-向量空间 $k[X]/(I_2(X) + (x_{1,1}^q,..., x_{m,n}^q))$ 维数的闭式表达，其中 $q$ 取遍所有正整数；即，我们给出了行列式环 $k[X]/I_{2}[X]$ 的广义 Hilbert-Kunz 函数的闭式表达。我们还给出了 $k[X]/I_{2}[X]$ 相关商空间维数的闭式表达。在此过程中，我们建立了一个关于某些组合数（整数的有序分拆）的公式，并证明了一个新的二项式恒等式。