2 x 2 行列式环的 Hilbert-Kunz 函数

设 k 为任意域（任意特征），X = [x_{i,j}] 为 m x n 的泛变元矩阵。记 I_2(X) 为 k[X] = k[x_{i,j}: i = 1, ..., m; j = 1, ..., n] 中由 X 的 2 x 2 子式生成的理想。我们利用 Gröbner 基给出了 k[X]-模 k[X]/(I_2(X) + (x_{1,1}^q,..., x_{m,n}^q)) 的长度在 q 遍历所有正整数时的递归公式。这是一个广义的 Hilbert-Kunz 函数，我们的公式证明了它是关于 q 的多项式函数。我们给出了 m 至多为 2 时的闭式解，以及一些其他特殊长度函数的闭式解。我们应用我们的方法给出了这些 Hilbert-Kunz 函数在 $m \le 2$ 情况下的闭式解。