${\Bbb R}^{N}$中具有任意边界的$(N-1)$维面积极小曲面的显式确定

设$N\ge3$为整数，$B$为${\Bbb R}^{N}$中光滑、紧致、有向的$(N-2)$维边界。1960年，H. Federer和W. Fleming证明了存在一个跨过该边界的面积最小的$(N-1)$维积分电流。该证明通过紧性方法且非构造性。1970年H. Federer证明了此类余维一极小曲面的确定性正则性结果。因此，是否存在一种数值算法能紧密逼近面积极小曲面是一个长期问题。本文的主要结果是一个解决该问题的算法。具体而言，给定${\Bbb R}^{N}$中围绕$B$的一个邻域$U$和一个容差$\epsilon>0$，我们证明可以在有限时间内显式计算一个$(N-1)$维积分电流$T$，满足以下逼近要求：(1) spt$(\partial T)\subset U$。(2) $B$与$\partial T$在Hausdorff距离内相差不超过$\epsilon$。(3) $B$与$\partial T$在平坦范数距离内相差不超过$\epsilon$。(4) ${\mathbb M}(T)<\epsilon+\inf\{{\mathbb M}(S):\partial S=B\}$。(5) 每个满足$\partial R=\partial T$的面积极小电流$R$与$T$的平坦范数距离在$\epsilon$内。