基于几何代数的时空 Baker-Campbell-Hausdorff-Dynkin 显式公式

我们给出了洛伦兹变换 $e^{\sigma_i}$ 在其自旋表示（又称洛伦兹转子）中按生成元 $\sigma_i$ 合成的紧致 Baker-Campbell-Hausdorff-Dynkin 公式：$$\ln(e^{\sigma_1}e^{\sigma_2}) = \tanh^{-1}\left(\frac{ \tanh \sigma_1 + \tanh \sigma_2 + \frac12[\tanh \sigma_1, \tanh \sigma_2] }{ 1 + \frac12\{\tanh \sigma_1, \tanh \sigma_2\} }\right)$$ 该公式对维数 $\leq 4$ 的几何代数（又称实 Clifford 代数）普遍成立，自然推广了 $\mathbb{R}^3$ 中旋转的 Rodrigues 公式。特别地，它适用于 Hestenes 时空代数框架内的洛伦兹转子，并为合成洛伦兹生成元提供了高效方法。利用 Pauli 自旋矩阵实现的复 $2\times2$ 矩阵表示可进行计算机实现。该公式被应用于相对论性 $3$-速度的合成，给出了所得推进与伴随 Wigner 角的简洁表达式。