群上随机游走的期望深度

对于有限生成群$G$和$g \in G$，如果$g \notin N$，我们称$g$被正规子群$N \lhd G$检测到。$g$的深度$D_G(g)$是检测$g$的正规有限指数子群$N$的最小指数。在本文中，我们研究期望深度$\mathbb E[D_G(X_n)]$，其中$X_n$是$G$上的随机游走。我们给出了几个标准，暗示$$\mathbb E[D_G(X_n)] \xrightarrow[n\to \infty]{} 2 + \sum_{k \geq 2}\frac{1}{[G:\Lambda_k]}\, ,$$其中$\Lambda_k$是所有指数至多为$k$的正规子群的交集。特别地，该等式在所有幂零群类以及满足 Kazhdan 性质$(T)$的所有线性群类中成立。我们解释了上述右侧如何作为自然极限出现，并给出了一个收敛不成立的例子。