非线性周期 Westervelt 方程的存在性、唯一性与数值解

本文研究具有有限域内激励的非线性周期 Westervelt 方程，其中 $d \in \{2,3\}$，并施加 Robin 边界条件。该问题对于发展利用声波非线性传播的成像技术具有重要意义。我们在线性和非线性情形下分别建立解的存在性和唯一性，从而允许系数随空间变化，这在定量成像中是相关的。推导多谐波公式后，我们展示了由于非线性波传播，次谐波（即基本频率的倍数响应）的产生。我们提出一个求解该系统的迭代方案，依赖于依次求解这些次谐波，其收敛性在激励较小的条件下已被证明。此外，我们研究了所得 Helmholtz 方程组的数值求解，采用符合条件的有限元方法进行离散化。通过实现所提出的方法，说明了非线性介质中声波的传播方式。本研究旨在增进对超声波传播动力学的理解，这对于从有限体内和边界测量中获得高质量图像至关重要。