图的 $u$-表示的存在性

最近，Jones 等人引入了 $u$-可表示图的研究，其中 $u$ 是字母表 $\{1,2\}$ 上至少包含一个 1 的单词。$u$-可表示图的概念是对文献中一系列论文所研究的单词可表示图概念的深远推广。Jones 等人已证明，假设 1 的个数至少为 3，任何图都是 $11\cdots 1$-可表示的，而 12-可表示图类真包含于可比图类，可比图类又真包含于对应于 11-可表示图的单词可表示图类。Nabawanda 对此方向进行了进一步研究，特别证明了 112-可表示图类不包含于单词可表示图类。Jones 等人提出了一个关于至少对小值 $u$ 进行 $u$-可表示图分类的问题。在本文中，我们证明若 $u$ 的长度至少为 3，则任何图都是 $u$-可表示的。这一颇为意外的结果表明，从表示的存在性角度看，$u$-可表示图理论中仅有两个有趣的非等价情形，即 $u=11$ 和 $u=12$ 的情形。