阻挡火灾螺旋策略的存在性

本文针对通过构建螺旋状墙体来阻挡火灾的问题进行探讨。这种做法被认为是在单名义火灾士工匠以有限建造速度 $\sigma$ 建造墙体时的 optimal 策略：满足此构建速度限制的障碍物被称为可接受的。我们证明了Bressan的Fire Conjecture的锋利版本在此情形下的成立，即当可接受的障碍物为螺旋状曲线时：仅当建造障碍的速度 $\sigma$ 严格大于临界速度 $\bar \sigma = 2.614...$ 时，存在螺旋状障碍将火灾限制在 $\mathbb R^2$ 的有界区域内。已知对于 $\sigma > \bar \sigma$ 的可接受螺旋障碍的封闭存在[ Bressan A. 等，2008，Klein R. 等，2019]，因此本文聚焦于负面情形，即当 $\sigma \leq \bar \sigma$ 时，不存在可接受的螺旋障碍能阻挡火灾。这些结果的证明依赖于：1) 对螺旋障碍的精确定义及其表示；2) 将饱和螺旋障碍分析为一种退缓微分方程（RDE），沿襟线[ Klein R. 等，2019]；3) 将猜想等价地表述为对给定函数的最小问题；4) 最优闭合螺旋的构建；5) 在可接受螺旋路径上进行可微分路径分析，其中该函数在沿着从最优螺旋到其他任何螺旋的移动过程中单调递增（同伦论论证）。鉴于解的复杂性，对证明该函数单调递增所需量的评估通过数值方式完成。