实维数为 8 的超复流形上 HKT 度量的存在性

超复流形 $M$ 是装备了满足四元数关系的三个复结构的流形。此类流形容许一个保持四元数作用的典则无挠联络，称为 Obata 联络。四元数 Hermite 度量是指在单位四元数作用下不变的黎曼度量。若此类度量局部可表示为某函数经四元数平均后的 Hessian，则称其为 HKT 度量。HKT 度量是复流形上 Kahler 度量的自然类比。我们将这一类比进一步推进，证明了针对复曲面的 Buchdahl-Lamari 定理的四元数类比。Buchdahl 和 Lamari 已证明：复曲面 $M$ 容许 Kahler 结构当且仅当 $b_1(M)$ 为偶数。我们证明：具有 Obata 和乐群 $SL(2,{\mathbb H})$ 的超复流形 $M$ 容许 HKT 结构当且仅当 $H^{0,1}(M)=H^1({\cal O}_M)$ 为偶数。