混合特征下双二次扩张上双有理小 Cohen-Macaulay 模的存在性

设 $S$ 为特征为二之混合特征的未分歧正则局部环，$R$ 为 $S$ 在其商域的双二次扩张（通过添加充分一般的无平方因子元 $f,g\in S$ 的根得到）中的整闭包。令 $S^2$ 表示将 $S/2S$ 上 Frobenius 映射的像提升至 $S$ 所得的 $S$ 的子环。当 $f,g\in S$ 中至少一个属于 $S^2$ 时，我们刻画了 $R$ 的 Cohen-Macaulay 性，并证明 $R$ 容许一个双有理小 Cohen-Macaulay 模。需注意，在 $f,g\in S^2$ 或 $f,g\notin S^2$ 的情形下，$R$ 并非自动为 Cohen-Macaulay。