混合特征下双根扩张上双有理极大Cohen-Macaulay模的存在性

设$S$为混合特征$p\geq 3$的非分歧正则局部环，$S^p$为通过将$S/pS$上Frobenius映射的像提升至$S$而得到的$S$的子环。令$R$为$S$在其商域的$p^2$次双根扩张的整闭包，该扩张通过添加充分一般的无平方因子元$f,g\in S^p$的$p$次根得到。我们证明$R$承认一个双有理极大Cohen-Macaulay模。需注意$R$并非自动为Cohen-Macaulay环。