TV Wasserstein 梯度流方程解的存在性

我们在任意维度的平坦 torus 上证明了 TV Wasserstein 梯度流方程的解的存在性，仅假设初始密度 $\rho_0$ 受上界和下界的严格正数约束。该解保持密度的上下界，并显示出 BV 范数（当 $t\to 0$ 时为 $t^{-1/3}$ 级——若 $\rho_0\notin BV$，否则 BV 范数当然受限；当 $t\to\infty$ 时为 $t^{-1}$ 级）的一定衰减。这推广了 Carlier 和 Poon 先前的结果，他们仅在空间一维时给出完整证明，且未考虑 $\rho_0\notin BV$ 的情况。主要工具是考虑一个人为限制密度下界的近似 TV-JKO scheme，以找到足够正则的连续时间解，从而证明初始数据的下界随时间传递，并研究该近似方程中 BV 范数的衰减。