具有有限自由群作用的三维球面上正双曲Reeb轨道的存在性

设$(Y,\lambda)$为非退化接触三维流形。D. Cristfaro-Gardiner、M. Hutshings与D. Pomerleano证明了若$c_{1}(\xi=\mathrm{Ker}\lambda)$为挠元，则$(Y,\lambda)$的Reeb向量场有无穷多条Reeb轨道，除非$(Y,\lambda)$为透镜空间或恰有两条简单椭圆轨道的三维球面。在同一论文中，他们还证明了若$b_{1}(Y)>0$，则由Seiberg-Witten Floer同调与嵌入接触同调的同构可直接得到$(Y,\lambda)$有一条简单正双曲轨道。此外，他们提出如下问题：在$b_{1}(Y)=0$下，具有无穷多条简单轨道的$(Y,\lambda)$是否也有正双曲轨道。本文在$Y \simeq S^{3}$且具有非平凡有限自由群作用（特别是作为$S^{3}$商空间的奇$p$透镜空间$(L(p,q),\lambda)$）的情形下回答了该问题。