谱与幂零约束下多项式变换矩阵的存在性与枚举

矩阵函数将标量函数的概念扩展到线性算子，提供了一个具有广泛应用的统一框架，涵盖数学、科学和工程领域。经典定义——通过幂级数、谱计算或Jordan标准型——涵盖可对角化和不可对角化的矩阵，揭示了关于动力学、稳定性和模态相互作用的洞见。建立在此基础上的研究考察矩阵函数在幂零和对角化约束下的行为，灵感来自Jordan分解中的谱部分与幂零部分。谱部分编码特征结构，而幂零部分反映偏离可对角化程度。本研究解决两个主要问题：(1) 多项式变换后的矩阵何时为幂零，(2) 何时变为对角化。分析考虑两种情形——具有单个不同特征值的矩阵与具有多个不同特征值的矩阵——每种情形都提出独特的代数和组合挑战。 Depending on whether the polynomial transform is sparse or dense，应用不同工具：稀疏情况下使用Descartes定律和Sturm定理等组合根计数技术；稠密情况下使用Argument原理、 Rouche定理和平方自由因式分解等分析或代数方法。这些方法共同构成了一个系统化的框架，用于研究在多项式变换下具有特定结构属性的矩阵的存在性与分类。这些发现深化了对谱变换的理解，为算子论、动力系统和计算线性代数提供了新视角。