通过实超矩形表示论研究度量变换与低秩矩阵
计算几何
2021-08-06 v2 机器学习
度量几何
摘要
在本文中，我们开发了一种称为实超矩形表示论的新技术，它描述了如何计算由超矩形产生的某些矩阵的特征向量和特征值。我们表明，在分析若干不同算法任务（如核方法、神经网络训练、自然语言处理和利用多项式方法的算法设计）时，这些矩阵会自然出现。然后我们利用我们的新技术及这些联系来证明这些领域中的若干新结构结果，包括：● 一个函数是正定曼哈顿核当且仅当它是完全单调函数。这些核在机器学习中被广泛使用；一个例子是广泛用于化学机器学习的 Laplace 核。● 一个函数将曼哈顿距离变换为曼哈顿距离当且仅当它是 Bernstein 函数。这完成了由 Assouad 于 1980 年发起的曼哈顿到曼哈顿度量变换理论。● 一个函数逐元素作用于任意秩为 的方阵总是得到秩 的矩阵当且仅当它是次数足够低的多项式。这给出了算法设计中多项式方法所用关键引理的逆命题。我们的工作包含了来自不同领域的精细技术组合，包括度量嵌入、多项式方法和群表示论。
引用
@article{arxiv.2011.11503,
title = {Metric Transforms and Low Rank Matrices via Representation Theory of the Real Hyperrectangle},
author = {Josh Alman and Timothy Chu and Gary Miller and Shyam Narayanan and Mark Sellke and Zhao Song},
journal= {arXiv preprint arXiv:2011.11503},
year = {2021}
}