奇异核函数所生成矩阵的秩

核函数在微分方程和机器学习应用中经常出现。本文研究由核函数 $K: X \times Y \mapsto \mathbb{R}$ 所生成矩阵的秩，其中集合 $X, Y \in \mathbb{R}^d$ 是共享边界的超立方体。本文的主要贡献是分析了当粒子（源/目标）在这些超立方体内任意分布时，此类矩阵的秩。据我们所知，这是首次正式研究任意粒子分布下此类矩阵的秩。我们将粒子的任意分布建模为源自一个潜在的随机分布，并获得了对应于各种相邻相互作用的核矩阵的期望秩和秩方差的界。这些界有助于理解对于任意粒子分布的层级矩阵算法（特别是满足弱可接受性准则的层级矩阵）的性能和复杂度。我们还展示了一维、二维和三维的数值实验，显示了不同类型相互作用下的期望秩增长和秩方差。数值结果与我们的理论预测一致，这并不令人意外。