自催化生长模型中动力学方程的精确解

针对 Watzky 和 Finke 提出的过渡金属纳米团簇成核与生长机制，引入了相应的动力学方程。此类方程的形式为 Smoluchowski 凝聚方程，并补充了负责化学反应的项。在无凝聚情况下，我们找到了模型方程的完整解析解，适用于自催化速率常数既与团簇质量成正比，也与质量无关的两种情形。在前一种情况下，得到 $\xi_{k} = s_k(\xi_{1})\propto \xi_{1}^{k}/k$，而在后一种情况下，$s_k(\xi_{1})$ 的函数形式更为复杂。在这两种情况下，$\xi_{1}(t) = h_{\mu}(M_{\mu}(t))$ 均为质量分布矩的函数。函数 $s_k(\xi_{1})$ 和 $h_{\mu}(M_{\mu})$ 均取决于所假设的自催化生长和单体产生机制，而不取决于系统中存在的其他化学反应。