排序烧焦煎饼栈所需的确切翻转次数

在本工作中，我们考虑烧焦煎饼问题，这是一个被广泛研究的问题，可追溯至 Gates 和 Papadimitriou 1979 年的工作。该问题旨在通过对顶部煎饼的一系列翻转，对一栈~$n$ 个大小不同的单面烧焦煎饼进行排序，使得在翻转序列结束时，煎饼按大小递增排列且所有煎饼的烧焦面朝下。煎饼记为 $1,2,\dots,n$，如果对应煎饼的烧焦面朝上，则该数字乘以 $-1$。设 $T(n)$ 为排序 $n$ 个煎饼的特殊栈（即 $\overline{I_n} := [-1,-2,...,-n]$）所需的最少翻转次数。实例 $\overline{I_n}$ 具有很强的相关性，因为其结构简单，且已被证明对于几个较小的 $n$ 是最坏情况实例。Heydari 和 Sudborough 于 1997 年给出了 $T(n)$ 目前最佳的上界，即对于 $n \equiv 3 \bmod 4$ 为 $\lfloor (3n+3)/2 \rfloor$，随后 Cibulka 在 2011 年的工作中证明该上界是精确的。除这两项工作外，迄今为止关于下界和上界均无进展。在我们的工作中，我们证明了对于 $n \equiv 1 \bmod 4$，$\lfloor (3n+3)/2 \rfloor$ 同样是 $T(n)$ 的上界，这再次与 Cibulka 在 2011 年给出的下界匹配，因此是精确的。此外，我们证明了我们针对 $n \equiv 1 \bmod 4$ 的构造方法以及 Heydari 和 Sudborough 针对 $n \equiv 3 \bmod 4$ 的构造方法不能应用于偶数 $n$。然而，由于可能存在不同的构造方法，偶数 $n$ 的情况仍是一个开放问题，其中 $T(n)$ 有两个可能的值，即 $(3/2)n + 1$ 或 $(3/2)n + 2$。最后，我们找到了两个达到下界的值，即 $n=24$ 和 $n=26$。