二维 Sobol' 序列的精确 $\ell^\infty$-分离半径

拟均匀性是点集的基本几何性质，对核插值、高斯过程回归和空间填充实验设计等应用至关重要。虽然拟蒙特卡罗方法以其低偏差特性而广为人知，但理解其拟均匀性对实际应用依然重要。对于二维 Sobol' 序列，Sobol' 和 Shukhman (2007) 猜想前 $N$ 个点的分离半径达到最优速率 $N^{-1/2}$，这将意味着拟均匀性。该猜想被 Goda (2024) 推翻，他计算了稀疏子序列 $N = 2^{2^v-1}$ 的 $\ell^2$-分离半径的精确值。然而，Sobol' 序列在任意 $N$ 下的一般行为仍不清楚。在本文中，我们推导出了对所有 $m \in \mathbb{N}$，二维 Sobol' 序列前 $N = 2^m$ 个点的 $\ell^\infty$-分离半径的精确表达式。作为直接推论，我们证明了 Sobol' 点的分离半径为 $O(N^{-3/4})$，严格劣于最优速率 $N^{-1/2}$，表明二维 Sobol' 序列具有至少以 $N^{1/4}$ 增长的次优网格比。