预设区分序列与变换半群的直径

我们研究了 $n$ 状态 Mealy 自动机的 $k$ 元素子集在最坏情况下的最短预设区分序列 (PDS) 的长度 $\ell(n,k)$。Sokolovskii 曾提到，该问题与寻找 $n$ 元素集合的全变换半群 $\mathbf{T}_n$ 的最大子半群直径 $\ell(\mathbf{T}_n)$ 的问题密切相关。我们证明了当 $n\to\infty$ 时，$\ell(\mathbf{T}_n)=2^n\exp\{\sqrt{\frac{n}{2}\ln n}(1+ o(1))\}$，并利用 Sokolovskii 的方法，找到了当 $n,k\to\infty$ 且 $k/n\to a\in (0,1)$ 时 $\log_2 \ell(n,k)$ 的渐近行为。