双降自旋扇区中有质量 XXZ 链的精确 Bethe 量子数

Bethe ansatz 方程 (BAE) 的每一个解都由一组称为 Bethe 量子数的量子数所表征，这些量子数对于对其进行数值计算是基础性的。在假设某种形式的 BAE 存在解的前提下，我们严格推导了 spin-1/2 有质量 XXZ 自旋链在双降自旋扇区中实解的 Bethe 量子数。在该扇区中，复解的量子数 $J_1$ 和 $J_2$ 已被导出，但实解的尚未被导出。我们展示该扇区中的精确结果如下。(\si) 当两个 Bethe 量子数不同时，即对于 $J_1 \ne J_2$，我们引入一种图解方法（我们称之为围道法），用于推导给定一组 Bethe 量子数所对应的 BAE 解。通过该方法，我们可以容易地证明解的存在性与唯一性。(\sii) 当两个 Bethe 量子数相等时，即对于 $J_1 = J_2$，我们通过解析方法推导了 two-strings 坍缩以及额外 two-string 出现的判据。(\siii) 我们得到了实解的数量，该数量依赖于格点数 $N$ 和 XXZ 各向异性参数 $\zeta$。(\siv) 通过 XXX 极限，我们推导了 XXX 自旋链在双降自旋扇区中所有取无穷值的 BAE 解。(\sv) 我们明确地以 Bethe 量子数的形式展示了 Bethe ansatz 的完备性。